早速ですが問題に行きましょう!

ヒント:本物と偽物の重さの違いは、軽いのか重いのかわかりません。そこが難しくなっているポイントです。

解答は下にあります。

答えは「3回」

たったの3回で正確に調べることが可能です。

解説:実際書くとかなり難しく感じますが、3回の手順なのでやりながら覚えると意外と簡単に覚えれます。友達などに出題してみても面白いと思います。

「以下に使う記号の定義」
・〇は本物だと判明している金貨です
・{ A }{ B } はAとBを天秤に乗せて比べると言う意味
・金貨13枚を A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4,C5と決める

以下が解答の一例として紹介します。
※最後の段階で、これ以外にもいくつか方法はあるようです。
よかったら他にも探してみてください。

1回目の測定で{A1A2A3A4}{B1B2B3B4}を比較。
(1).{A1A2A3A4}={B1B2B3B4}
(2).{A1A2A3A4}>{B1B2B3B4}
(3).{A1A2A3A4}<{B1B2B3B4}
の3通りの可能性がある。対称性から(1)と(2)だけ考えれば考える

(3)はAとBの名前を入れ替えて考えてもらったら大丈夫です。

(1).{A1A2A3A4}={B1B2B3B4}のときは
・分かることは『A1-A4,B1-B4は〇』かつ『C1-C5に重いか軽いか分からないもの がある』
・2回目の測定では{C1C2}と{C3〇}を比べる

(一) {C1C2}={C3〇}の時
  ・C4かC5かが軽いか重いかのどちらかである
  ・3回目の測定で{C4}{◎}とし、つりあえばC5、傾けばC4が偽物と特定できる
(二) {C1C2}>{C3〇}の時
  ・C1かC2が重い、またはC3が軽い
  ・3回目で{C1}{C2}とし、つりあえばC3、つりあわなければ重い方と特定
(三) {C1C2}<{C3〇}の時
  ・C1かC2が軽い、またはC3が重い
  ・3回目で{C1}{C2}とし、つりあえばC3、つりあわなければ軽い方と特定

(2). {A1A2A3A4}>{B1B2B3B4}のとき
・分かることは、『C1-C5は〇』かつ『A1-A4の何れかが重い、又は、B1-B4の何れ かが軽い』
・2回目の測定では{A1A2A3B1B2}と{〇〇〇〇〇}を比べる

(一){A1A2A3B1B2}={ 〇〇〇〇〇 }の時は
  ・A4が重い、又はB3B4の何れかが軽い
  ・3回目で{B3}{B4}として、つりあえばA4、つりあわなければ軽い方と特定
(二){A1A2A3B1B2}>{ 〇〇〇〇〇 }
  ・A1A2A3の何れかが重い
  ・3回目で{A1}{A2}として、つりあえばA3、つりあわなければ重い方と特定
(三){A1A2A3B1B2}<{ 〇〇〇〇〇 }
  ・B1とB2の何れかが軽い
  ・3回目で{B1}{B2}として、軽い方が偽物

この問題の総括:この問題を知らずに一見で解ける方は数学大好き人間でしょう。